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a-maths~~~~~~~

發問:

在?ABC中,考慮cosA+cosC=2(1-cosB),其中A、B和C是?ABC的內角。 (a)利用恆等式cosA=1-2sin2(A/2),証明sin2(A/2)+sin2(B/2)+sin2(C/2)=cos2(B/2)。 (b)証明tan(A/2)tan(C/2)=1/3 (c)根據(b)小題的結果,証明 (i)cot(A/2)+cot(C/2)=3[tan(A/2)+tan(C/2)]。 (ii)2cot(B/2)=cot(A/2)+cot(C/2)。

最佳解答:

a)L.H.S.=sin2(A/2)+sin2(B/2)+sin2(C/2) =(1-cosA)/2+sin2(B/2)+(1-cosC)/2 =(2-cosA-cosC)/2+ sin2(B/2) =[2-2(1-cosB)]/2+ sin2(B/2) =1-1+cosB+1- cos2(B/2) =2cos2(B/2)-1+1- cos2(B/2) =cos2(B/2) =R.H.S. b)cosA+cosC=2(1-cosB) 2cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2(1-cos[180*-(A+C)]) cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=1+cos(A+C) cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=1+2cos2[(A+C)/2]-1 cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2cos2[(A+C)/2] cos(A-C)/2=2cos[(A+C)/2] L.H.S.= tan(A/2)tan(C/2) = sin(A/2)sin(C/2)/cos(A/2)cos(C/2) = (1/2)[cos [(A-C)/2] – cos[(A+C)/2]/(1/2)[cos[(A+C)/2]+cos[(A-C)/2]] = [2cos[(A+C)/2] – cos[(A+C)/2]]/[cos[(A+C)/2]+2cos[(A+C)/2]] = 1/3 = R.H.S. ci)L.H.S.=cot(A/2)+cot(C/2) =[tan(C/2)+tan(A/2)]/tan(A/2)tan(C/2) =[tan(C/2)+tan(A/2)]/(1/3) =3[tan(C/2)+tan(A/2)] =R.H.S. ii)R.H.S.=cot(A/2)+cot(C/2) =[tan(A/2)+tan(C/2)][1-tan(A/2)tan(C/2)]/[tan(A/2)tan(C/2)][1-tan(A/2)tan(C/2)] =tan[(A+C)/2](1-1/3)/(1/3) =2tan[(180*-B)/2] =2tan(90*-B/2) =2cot(B/2) =L.H.S.

其他解答: